Fungsi

Materi Pembelajaran :

Memahami Notasi, Domain, Range, dan Grafik Suatu Fungsi
Operasi Aljabar pada Fungsi
Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi
Fungsi Invers
Menemukan Rumus Fungsi Invers

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmukuantitatif. Istilah “fungsi“, “pemetaan“, “peta“, “transformasi“, dan “operator” biasanya dipakai secara sinonim.

Fungsi terbagi menjadi tiga jenis :

Fungsi Linier : suatu fungsi yang variabelnya berpangkat 1
Fungsi Kuadrat : suatu fungsi polinom (pangkat tertinggi variabel x-nya lebih dari 1) pangkat tertingginya 2
Fungsi Rasional atau pecahan

Domain dan Range

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

sumber : https://restawurii.wordpress.com

Operasi Aljabar Pada Fungsi

Misalkan, f(x) dan g(x) diberikan olehf(x) = x dan g(x) = 2xpenjumlahan f(x) = x dan g(x) yaitu f(x) + g(x) = x + 2x = 3xoperasi aljabar ini mendefenisikan suatu fungsi baru yang disebutjumlah dari f dan g, dilambangkan dengan  f + g. Nilai fungsi baru yang diperoleh adalah f(x) + g(x). oleh karena itu, ( f + g )(x) = f(x) + g(x) = x + 2x = 3x
Secara umum. Defenisi jumlah f + g, selisih f – g, perkalian fg, dan pembagian  f adalah sebagai berikut.                   g Defenisi ini berlaku jika f dan g terdefenisi.
Contoh Soal :Jika f(x) = x – 3 dan  g(x) = 2x3 + 5x,  tentukan hasil operasi fungsi berikut.a.        ( f + g )(x)b.      ( f – g )(x)c.       (fg)(x)d.       f /gPenyelesaian :a.        ( f + g )(x) = f(x) + g(x)                  = (x - 3) + (2x3 + 5x)                   = 2x3 + 6x - 3                  b.     ( f - g )(x) = f(x) - g(x)                 = (x - 3) - (2x3 + 5x)                = -2x3 - 4x - 3
c.      (fg)(x) = f(x) g (x)        =(x-3)(2x3 + 5x)                      =2x4 + 5x2 - 6x3 - 15x           =2x4 -6x3 +5x2 - 15x                  d.     ( f/g )(x) = f(x) / g(x)    = (x - 3) / (2x3 + 5x) sumber : http://su-henny.blogspot.com

A.Fungsi komposisi
Dari dua jenis fungsi f (x) dan g (x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi sering dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari fungsi f (x) dan g (x)  adalah
(f o g) (x)  artinya g dimasukan ke f
(g o f) (x)  artinya f dimasukan ke g

B. Menemukan Konsep Fungsi Komposisi
Jika   f  dan g  fungsi Rf  dan Dg tidak sama dengan himpunan kosong, maka terdapat suatu fungsi h dari himpunan bagian Df  ke himpunan bagian Rg yang disebut fungsi komposisi f  dan g  (ditulis: g o f  ) yang ditentukan dengan:
h (x) = (g o f) (x) = g ( f (x) )
daerah asal fungsi komposisi f  dan g adalah   Df o g = {x E Df  \ f (x) E Dg } ,  dengan
Df = daerah asal (domain) fungsi  f ,  Dg  daerah asal (domain) fungsi g ;
Rf   =  daerah hasil (range) fungsi  f  ;  daerah hasil (range) fungsi  g

C. Sifat-sifat fungsi komposisi
Fungsi komposisi memiliki bebrapa sifat, diantaranya :
- Tidak komutatif
(f o g) (x) tidak sama dengan (g o f) (x)
- Asosiatif
Diketahui f , g , dan h suatu fungsi. Jika Rh dan Dg  tidak sama dengan himpunan kosong; maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu;
f o (g o h) = (f o g) o h
atau
( f o (g o h) ) (x) = ( (f o g) o h ) (x)
- Fungsi identitas
Diketahui f  suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika  RI  dan Df  tidak sama dengan himpunan kosong maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu: I (x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitu;
f o I = I o f = f
atau
(f o I) (x)  = (I o f) (x)  = f (x)
Contoh :
Diketahu f(x) = 2x-5 dan g(x) = x + 5x -1
Tentukanlah (f o g) (x) dan (g o f) (x)
Jawab:
(f o g) (x)= (g o f) (x) =
(f o g) (x) = 2(x+ 5x -1)-5 (g o f) (x) = (2x-5) + 5(2x-5) -1
(f o g) (x) = 2x + 10x -2-5 (g o f) (x) = 2x-5+10x-26
(f o g) (x) = 12x -17   (g o f) (x) = 12x-31

sumber : https://belajarweblly.weebly.com

Fungsi Invers

Fungsi invers atau fungsi kebalikan merupakan suatu fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Suatu fungsi f memiliki fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f merupakan fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut :

(f-1)-1 = f

Sederhananya, fungsi bijektif terjadi ketika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Tidak ada dua atau lebih doamain berbeda dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain, perhatikan gambar di bawah ini: