Trigonometri

Materi Pembelajaran :

Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Nilai Perbandingan Trigonometri untuk $\large 0^{o}$ , $\large 30^{o}$ , $\large 45^{o}$ , $\large 60^{o}$ ,dan $\large 90^{o}$

Relasi Sudut

Identitas Trigonometri

Aturan Sinus dan Cosinus

Grafik Fungsi Trigonometri

Ukuran Derajat

Kita ketahui besar sudut satu putaran dalam derajat adalah 360°. Jadi, ini berati 1° = 1/360 putaran. Selain derajat ada ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat yaitu menit (‘) dan detik (“). Hubungan dari ukuran-ukuran sudut tersebut adalah sebagai berikut.

1 derajat = 60 menit atau 1° = 60’

1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”

Ukuran Radian

Selain ukuran derjat kita juga mengenal istilah ukuran sudut yang lain yaitu ukuran radian (rad). Ukuran sudut radian banyak digunakan dalam matematika terapan. Satu radian didefinisikan sebagai besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Sekarang perhatikan sudut AOB pada gambar di atas!

Secara umum, apabila panjang busur AB = s, maka sudut pusat lingkaran yang menghadap busur AB adalah:

θ = s/r

Jika panjang busur AB sama dengan panjang jari-jari lingkaran maka sudut AOB sama dengan satu radian.

1 putaran = 2π radian, maka:

1 putaran = 360°

1° = 1° x 2π/360°

1° = 0,0055π radian

1° = 0,0174 radian

2π radian = 1 putaran, maka:

1 radian = 1 putaran/2π radian

1 radian = 1 radian x 360°/2π radian

1 radian = 180°/π

1 radian = 180°/3,14

1 radian = 57,32°

Jadi 1° sama dengan 0,0174 radian dan 1 radian sama dengan 57,32°

Perhatikan gambar di bawah ini.

Dari gambar tersebut kita akan mencari luas juring AOB dengan konsep radian, yaitu:

Luas AOB/Luas Lingkaran = panjang AB/Keliling lingkaran

Luas AOB/2πr2 = s/2πr

Luas AOB = ½ rs

karena s = rθ, maka

Luas AOB = ½ r2θ

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang konsep ukuran sudut perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh soal :

1. Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesian:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

2. Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

3. Hitunglah jari-jari suatu lingkaran jika panjang busurnya 10 cm dan sudut pusatnya 36°!

Penyelesaian:

θ = 36°, maka:

36° = 36°xπ/180°

36° = 0,2π

Kita ketahui bahwa :

r = s/θ

r = 10 cm/0,2π

r = 10 cm/0,628

r = 15,9 cm

Sumber : https://mafia.mafiaol.com

Perbandingan Trigonometri dari Suatu Sudut pada Segitiga Siku-Siku

Segitiga siku-siku yaitu segitiga dengan salah satu sudutnya adalah $90^{o}$ . Dalam segitiga siku-siku terdapat sisi miring yang disebut hipotenusa. Kuadrat hipotenusa yaitu jumlah dari kuadrat dua sisi lainnya. Secara sistematis, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai berikut.

$\large a^{2} + b^{2} = c^{2}$

dengan a dan b adalah sisi siku-siku dan c adalah sisi miringnya. Untuk lebih jelasnya maka perhatikan gambar berikut.

Untuk mengetahui rasio trigonometri, kita menggunakan segitiga siku-siku. Untuk itu, kita harus mengetahui letak sisi depan, sisi samping, dan sisi miring. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:

Sisi Miring adalah sisi di depan sudut siku-siku.
Sisi Depan adalah sisi di depan sudut α.
Sisi Samping adalah sisi siku-siku lainnya.

$\LARGE sin \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{BC}{AC}$
$\LARGE cos \ \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha }{sisi \: miring}=\frac{AB}{AC}$
$\LARGE tan \ \alpha =\frac{sisi\: depan \: sudut \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{BC}{AB}$
$\LARGE cosec \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{BC}$
$\LARGE secan \: \alpha =\frac{sisi\: miring \: \alpha }{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$
$\LARGE cotan \: \alpha =\frac{sisi\: samping \: sudut \: \alpha}{sisi\: depan \: sudut \: \alpha}=\frac{AC}{AB}$

Contoh:

Tentukan nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut Q dan R pada segitaga berikut.

Jawab:

$\large PQ = \sqrt{QR^{2}-PR^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{2^{2}-1^{2}}$

$\large PQ = \sqrt{4-1}$

$\large PQ = \sqrt{3}$

$\large sin \ Q =\frac{sisi\: depan \: sudut \: Q }{sisi \: miring}=\frac{PR}{QR} =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$\large cos \ Q =\frac{sisi\: samping \: sudut \: Q }{sisi \: miring}=\frac{PQ}{QR} =\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\large tan \ Q =\frac{sisi\: depan \: sudut \: Q }{sisi \: miring}=\frac{PR}{PQ} =\frac{1}{2}$
$\large sin \ R =\frac{sisi\: depan \: sudut \: R }{sisi \: miring}=\frac{PQ}{QR} =\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\large cos \ R =\frac{sisi\: depan \: sudut \: R }{sisi \: miring}=\frac{PR}{QR} =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$\large tan \ R =\frac{sisi\: depan \: sudut \: R }{sisi \: samping \: sudut \: Q}=\frac{PR}{PQ} =\frac{2}{1}= 2$

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Sudut istimewa meliputi $\large 0^{o}$ , $\large 30^{o}$ , $\large 45^{o}$ , $\large 60^{o}$ , $\large 90^{o}$ , dan sudut istimewa lainnya pada kuadran II, III, dan IV. Sudut istimewa dihasilkan dengan menggunakan teori geometri.

Untuk mencari sudut istimewa dapat digunakan beberapa bidang datar untuk mencari nilai sudut istimewa tersebut.

Sudut 30 dan 60

Untuk mencari nilai perbandingan sudut $30^{o}$ kita menggunakan segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi memiliki sisi-sisi yang sama panjang dan sudut yang sama besar. Sudut-sudut segitiga sama sisi masing-masing adalah $60^{o}$ .

Segitiga sama sisi ABC memiliki panjang sisi-sisinya adalah 2x satuan. Titik D adalah titik tengah AB, sehingga jika ditarik garis dari titik C ke titik D akan membagi segitiga sama sisi tersebut menjadi segitiga sama sisi, dengan sudut siku-siku di D.

Karena titik D merupakan titik tengah, maka panjang AD =BD = $\frac{1}{2}$ AC = x

maka diperoleh:

$\bigtriangleup ACD \cong \bigtriangleup BCD$ $\angle ACD \cong \angle BCD = 30^{o}$

Sehingga $\bigtriangleup ACD$ adalah segitiga siku-siku dengan $\angle D$ adalah sudut siku-siku.Dengan menggunakan teorema phytagoras, maka dapat ditentukan panjang sisi CD

$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}$

$CD^{2}=2x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=4x^{2}-x^{2}$

$CD^{2}=3x^{2}$

$CD=\sqrt{3x^{2}}$

$CD=\sqrt{3}\, x$

1. Untuk $\angle ACD = 30^{o}$

$sin \: 30^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$cos \: 30^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$tan \: 30^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
$cosec \: 30^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$secan \: 30^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$cotan \: 30^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$

2. Untuk $\angle CAD = 60^{o}$

$sin \: 60^{o} = \frac{CD}{AC}= \frac{\sqrt{3}x}{2x}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$cos \: 60^{o} = \frac{AD}{AC}= \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
$tan\: 60^{o} = \frac{CD}{AD}= \frac{\sqrt{3}x}{x}=\sqrt{3}$
$cosec \: 60^{o} = \frac{AC}{CD}= \frac{2x}{\sqrt{3}x}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$secan \: 60^{o} = \frac{AC}{AD}= \frac{2x}{x}=2$
$cotan \: 60^{o} = \frac{AD}{CD}= \frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Sudut 45

Untuk mencari perbandingan sudut pada sudut 45, maka kita menggunakan persegi.

Pada persegi di atas, jika dibuat garis diagonal dari titik A ke titik C akan membentuk segitiga siku-siku yang memiliki dua sisi yang sama.

Perhatikan segitiga ABC. $AB =BC=x,\: \angle A=\angle C= 45^{o}$ dan $\angle B= 90^{o}$ . Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, maka:

$AC^{2}= AB^{2} + BC^{2}$

$AC^{2}= x^{2} + x^{2}$

$AC^{2}= 2x^{2}$

$AC= \sqrt{2x^{2}}$

$AC=2\sqrt{2}$

$sin\: 45^{o} = \frac{BC}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$cos\: 45^{o} = \frac{AB}{AC}=\frac{x}{x\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$tan\: 45^{o} = \frac{BC}{AB}=\frac{x}{x}=1$
$cosec\: 45^{o} = \frac{AC}{BC}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}$
$secan\: 45^{o} = \frac{AC}{AB}=\frac{x\sqrt{2}}{x}=\sqrt{2}$
$cotan\: 45^{o} = \frac{AB}{BC}=\frac{x}{x}=1$

Tabel 1 Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa

	$0^{o}$	$30^{o}$	$45^{o}$	$60^{o}$	$90^{o}$
$sin\: \alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	1
$cos\: \alpha$	1	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	0
$tan\: \alpha$	0	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	1	$\sqrt{3}$	–
$csc\: \alpha$	–	2	$\sqrt{2}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	1
$sec\: \alpha$	1	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{2}$	2	–
$cotan\: \alpha$	–	$\sqrt{3}$	1	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	0

Contoh:

Hitunglah:

$\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}$

$\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}$

Jawab:

$\frac{sin\: 30^{o}\times cos\: 60^{o}}{csc\: 45^{o}}$

$=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{4}\times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2}}$

$=\frac{1}{4}\sqrt{2}$

$\frac{2\left ( cos\: 60^{o} \right )^{2}+4(sec\: 30^{o})^{2}-(tan\: 45^{o})^{2}} {\left ( sin \: 30^{o} \right )^{2}+(cos\: 30^{o})^{2}}$

$=\frac{2\left ( \frac{1}{2}\right )^{2} + 4(\frac{2}{3}\sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2}\sqrt{2})^{2}} {(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{16}{3}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$

$=\frac{\frac{16}{3}}{1}$

$=\frac{16}{3}$

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Berbagai Kuadran

Untuk mengetahui perbandingan trigonometri sudut $\alpha$ didefinisikan sebagai berikut:

$\large sin \: \alpha = \frac{ordinat}{jarak} = \frac{y}{r}$
$\large cos \: \alpha = \frac{absis}{jarak} = \frac{x}{r}$
$\large tan \: \alpha = \frac{ordinat}{absis} = \frac{y}{x}$
$\large cosec \: \alpha = \frac{jarak}{ordinat} = \frac{r}{y}$
$\large sec \: \alpha = \frac{jarak}{absis} = \frac{r}{x}$
$\large cotan \: \alpha = \frac{absis}{ordinat} = \frac{r}{x}$

Sudut $\alpha$ di kuadran I, jika $\large 0^{o} \leq \alpha \leq 90^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran II, jika $\large 90^{o} \leq \alpha \leq 180^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran III, jika $\large 180^{o} \leq \alpha \leq 270^{o}$
Sudut $\alpha$ di kuadran IV, jika $\large 270^{o} \leq \alpha \leq 360^{o}$

Tanda nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut di berbagai kuadran sebagai berikut.

Perbandingan Trigonometri	Sudut di Kuadran
Perbandingan Trigonometri	I	II	III	IV
$\large sin \: \alpha$	+	+	–	–
$\large cos \: \alpha$	+	–	–	+
$\large tan \: \alpha$	+	–	+	–
$\large csc \: \alpha$	+	+	–	–
$\large sec \: \alpha$	+	–	–	+
$\large cotan \: \alpha$	+	–	+	–